@l $f $$c ,sec;n #d.a4 ,a ,p>a-,l9del(1 ,nonnormal ,moore ,space $l $$c
,3/ruct$ ,"u @m ,,ma(.w1)_4 @l $p ,9 ? sec;n ! id1s ( ,*apt] #c >e us$ )a
normal @m .w1-,cantor @l tree z a ref];e space 9 3/ruct+ a new example4
,:ile @m .w1-,cantor @l trees >e n collec;nwise ,hausdorff1 !y >e ,moore
spaces :1 if @m ,,ma(.w1) @l is assum$1 >e normal4 $p ,a tree ,7#c7' is a
"pi,y ord]$ set @m (,t, "k:) @l s* t1 = e @m ;t @l 9 ;,t1 ! set @m
.(x@e,t\ x "k t.) @l ( all /rict pr$ecessors ( ;t is well-ord]$ by @m
."k_4 @l ,= any ord9al @m .a_1 @l ! @m .ath @l level ( ;,t is @m .(t@e,t\
@l ! set ( all pr$ecessors ( ;t "u @m "k @l has ord] type @m .a.)_4 @l ,!
hei<t ( ;,t is ! smalle/ ord9al @m .a @l s* t ! @m .ath @l level ( ;,t is
empty4 ,an op5 9t]val ;,j 9 ;,t is (! =m @m .(t.) @l = "s ;t 9 ! #jth
level ( ;,t or @m .(x@e,t\ s "k x "k: t.) @l = "s ;s & ;t 9 @m ;,t4 @l ,!
tree topology on ;,t1 : is alw ,hausdorff & regul> 7i4e41 @m ,t3)_1 @l is
! topology g5]at$ 0! base ( all op5 9t]vals ;,j 9 ;,t4 $p ,! ,cantor tree
;,c is ! tree @m ^:"k.w"2 @l ( hei<t @m .w+1_1 @l "pi,y ord]$ 09clu.n &
topologiz$ 0! tree topology4 ,let @m ,c' @l 2 ! @m .wth @l level ( ;,c--t
is1 @m ^.w"2_4 ,if .w "k: "].k "k: @;c_1 @l !n a @m .k-,cantor @l tree ;,b
is a subset ( ;,c ( c>d9al;y @m "].k @l : 3ta9s all ( @m ,c-,c'_4 @l $p
$$ub #d.a.a3 ,!orem $$ub ,7#c7'4 ,if @m .w "k "].k "k @;c_1 let ;,b @l 2 a
@m .k-,cantor @l tree4 ,!n3 $l 7a7 ;,b is a sep>a#1 loc,y -pact ,moore
space : is n collec;nwise ,hausdorff4 $l 7b7 @m (,,ma(.k)) ;,b is normal_4
$4 @l $p $$ub #d.a.b3 ,not,nal ,def9i;n $$uf @m (,,ma(.w1))_4 @l ,let ;,t
2 an @m .w1-,cantor @l tree4 ,let @m ,t' @l 2 ! @m .wth @l level ( ;,t1 a
4crete subset ( ;,t4 ,giv5 @m n .1: #1_1 @l s9ce @m \,p;n"\ .k .w1_1 let
s;n_3 ,p;n $o ,t' @l 2 a "o-"o1 onto func;n assign+ 6ea* @m .s @l 9 @m
,p;n @l ! sequ;e @m s;n"(.s) @l ( @m #0's @l & @m #1's4 @l ,s9ce ;,t is
normal "u @m ,,ma(.w1)_1 @l = ea* subset ;,a ( @m ,p;n_1 @l "! is a func;n
@m d;,a_3 ,p;n $o .w @l s* t @m s;n"(.s)@rm /.k s;n"(.t)@rm @l :5 @m .s @e
,a, .t @e ,p;n"-,a, @l & @m m .k max (d;,a"(.s), d;,a"(.t))_4 $4 @l $p
$$ub #d.a.c3 ,not,nal ,def9i;n4 $$uf ,recall 7,def9i;n #c.b.a7 t @m ,f .k
.(f_3 .w $o .w1\ ;f is increasing.)_4 @l ,n[ let @m ,h .k .(f_<0\ f @e
,f.), ,k .k .(f_<1\ f @e ,f.)_4 @l ,?us ;,h @l & ;,k >e two 4jo9t copies (
;,f4 @m $4 @l $p $$ub #d.a.d3 ,not,nal ,def9i;n4 $$uf ,let @m .r @l 2 9 @m
^n".w1 @l = "s @m n .1: #1_4 ,let @(.r_3 ,f@) .k .(f@e,f\ f@rn .k .r.)_4
@l ,def9e @m @(.r_3 ,h@) @l & @m @(.r_3 ,k@) @l analog\sly4 @m $4 @l $p
$$ub #d.a.e3 ,example $$uf @m (,,ma(.w1))_4 @l ,giv5 @m n .1: #1_1 let
,i;n .k .((.s, .t) @e ,p;n^2"\ (i) .s(0) /.k .t(0), (ii) .s @l & @m .t @l
9t]lace1 & @m (iii) s;i"(.s@ri)@rn .k s;i"(.t@ri)@rn = #1 "k: i "k: n.)_2
,let ,i;n^@# .k " .+%m_ .1:_ n] ,i;m_4 @l ,n[ let @m ,i .k ,i1^@# @l & @m
,x .k ,h .+ ,k .+ ,i_4
 
@l $p ,let @m ;,x @l 2 topologiz$ z foll[s4 ,giv5 @m ;x @l 9 @m ;,i_1
.(x.) @l is op52 t is1 ! po9ts ( @m ;,i @l >e isolat$4 ,giv5 @m n .1: #1
@l & ;h 9 ;,h1 ! set @m ,u;n"(h) .k @(h@rn_3 ,h@) .+ .((.s, .t) @e
,i;n^@#"\ .s@rn .k h@rn.) @l is op54 ,simil>ly1 giv5 @m n .1: #1 @l & ;k 9
@m ;,k_1 @l ! set @m ,u;n"(k) .k @(k@rn_3 ,k@) .+ .((.s, .t) @e ,i;n^@#"\
.t@rn .k k@rn.) @l is op54 ,^! op5 sets make up ! base @m @;,b @l =!
topology on @m ;,x_4 @l $p ,! topological space ;,x has ! foll[+
prop]ties3 $l 7a7 @m ;,x is ,t1 @l & z]o-dim5.nal & h;e al regul> & 9 fact
-pletely regul>4 $l 7b7 ;,x is a ,moore space )a @m .s-_ @l 4jo9t1 @m .s-_
@l loc,y c.ta# base4 $l 7c7 ;,x is p>a-,l9del(4 $l 7d7 ;,x is n normal4 $l
7e7 ;,x is metacompact4 $l 7f7 ;,x is c.tably p>acompact4 $p ,frequ5tly1 a
v]ific,n 9volv+ po9ts 9 ;,h &! correspond+ "o 9volv+ po9ts 9 ;,k >e tot,y
analog\s4 ,9 s* cases1 )\t any fur!r m5;n1 only "o v]ific,n w 2 giv54 $p
7a73 ,f/1 we see t ;,x is @m ,t1_2 @l i4e41 s+letons >e clos$4 ,= ea* ;x 9
@m ;,x_1 .(x'.) @l sep>ates any 4t9ct po9t @m x' @l 9 ;,i f ;x4 ,giv5 a
po9t ;x 9 @m ,i;n_1 @l any po9t ;h 9 ;,h c 2 sep>at$ f @m ;x by
,u;n+1"(h)_4 @l ,n[ 3sid] a po9t ;h 9 ;,h4 @l ,any o!r po9t @m h' @l 9 ;,h
c 2 sep>at$ f ;h by @m ,u;n"(h') @l ": ;n is l>ge 5 s t @m h'@rn /.k
h@rn_4 @l ,al1 = any ;k 9 ;,k1 ev5 @m ,u1"(k) @l sep>ates ;k f ;h4 $p ,9
a4i;n1 ! giv5 basic op5 sets >e clos$4 ,ea* @m .(x.) @l 3ta9$ 9 ;,i is
clos$ z ;,x is @m ,t1_4 @l ,n[1 giv5 ;h 9 ;,h & @m n .1: #1_1 @l 3sid] @m
,u .k ,u;n"(h)_4 @l ,ea* ;x 9 @m ,i-,u @l is sep>at$ f @m ;,u by .(x.)_4
@l ,giv5 @m h' @l 9 @m ,h-,u_1 ,u;m"(h') @l sep>ates @m h' @l f ;,u ": ;m
is l>ge 5 s t @m h'@rm /.k h@rm @l 7e4g41 @m m .k n)_4 @l ,9 sep>at+ ;k 9
;,k f ;,u1 "! >e two possibilities4 ,if @m k(0) .k h(0)_1 @l !n @m ,u1(k)
@l & ;,u >e 4jo9t4 ,o!rwise1 s9ce @m k@r1 /.k h@r1_1 @l f9d ;m l>ge 5 s t
@m s1(k@r1)@rm /.k s1(h@r1)@rm; @l !n @m ,u;m"(k) @l & ;,u >e 4jo9t4 ,?us
! giv5 base @m @;,b @l is clop52 s ;,x is z]o-dim5.nal4 $p ,s9ce ;,x is @m
,t1 @l & has a clop5 base1 x is @m ,t3 @l & 9 fact ,ty*on(f4 $p 7b73 ,let
@m n .1: #1 @l 2 giv54 ,let @m @;,g;n^0 .k .(,u;n"(h)\ h @e ,h.), @;,g;n^1
.k .(,u;n"(k)\ k @e ,k.), @l & @m @;,g;n^2 .k .(.(x.)\ x @e ,i- .+
(@;,g;n^0 .+ @;,g;n^1").)_4 @l ,let @m @;,g;n .k @;,g;n^0 .+ @;,g;n^1 .+
@;,g;n^2_4 @l ,ea* collec;n @m @;,g;n^e @l is pairwise 4jo9t = e @m .k #0,
#1, or #2_4 @l ,s9ce ! base @m @;,b .k " .+%n_ .1:_ #1] @;,g;n_1 @;,b @l
is a @m .s-_ @l 4jo9t base4 ,s9ce ! collec;n @m .(@;,g;n"\ n .1: #1.) @l (
op5 cov]s ( ;,x is a develop;t = ;,x1 ;,x is a ,moore space4
 
@l $p ,f9,y1 we v]ify t @m @;,b is .s-_ @l loc,y c.ta# s9ce ea* @m @;,g;n
@l is loc,y c.ta# z wit;s$ by @m @;,g;n+1_4 @l ,let @m n .1: #1 @l 2 giv54
,cle>ly1 = ea* @m ;x @l 9 @m ;,i_1 .(x.) @l meets at mo/ two memb]s ( @m
@;,g;n_4 @l ,al1 = ea* @m ;x @l 9 @m ,h .+ ,k_1 @m ,u;n+1"(x) @l meets
only c.tably _m memb]s ( @m @;,g;n_4 @l ,6v]ify ?1 3sid] @m ,u .k
,u;n+1"(h) @l ": @m h @e ,h_4 ;,u @l meets exactly "o memb] ( @m
@;,g;n^0"--_ @l "nly1 @m ,u;n"(h)--_ @l & no memb]s ( @m @;,g;n^2_4 @l ,n[
suppose @m ;,u meets ,u;n"(k) @l ": @m k @e ,k_4 @l ,*oose @m (.s, .t) @l
9 @m ,u .% ,u;n"(k)_4 @l ,!n @m h@r(n+1) .k .s@r(n+1) @l 9t]laces ) @m
.t@r(n+1)_4 @l ,s "! >e only c.tably _m possibilities = @m .t@rn .k k@rn_1
@l : det]m9es @m ,u;n"(k) @l = ;k 9 ;,k4 ,?us ;,u meets only c.tably _m
memb]s ( @m @;,g;n^1 @l & h;e ( @m @;,g;n_4 $p @l 7c73 ,6v]ify t ;,x is
p>a-,l9del(1 let @m @;,v @l 2 an op5 cov] ( ;,x4 ,= ea* ;f 9 ;,f1 let @m
c(f) @l 2 ! smalle/ 9teg] ;n s* t bo? @m ,u;n"(f_<0) @l & @m ,u;n"(f_<1)
@l >e 3ta9$ 9 memb]s ( @m @;,v_4 @l ,giv5 @m n .1: #1_1 let ,a;n .k
.(.r@e,p;n"\ c(f) .k n @l = "s 7e7 ;f 9 ;,f : ext5ds @m .r.)_1 @l or
equival5tly @m ,a;n .k .(f@rn\ f @e ,f @l & @m c(f) .k n.); let d;n_3 ,p;n
$o .w @l 2 a func;n sep>at+ @m ,a;n @l f @m ,p;n"-,a;n @l z 9 ,def9i;n
#d.a.b4 ,f9,y1 = ea* ;f 9 @m ;,f_1 let d(f) @l 2 ! l>g] ( @m c(f) @l & @m
" max%i_ "k:_ c(f)] d;i"(f@ri)_4 @l ,= 3v5i;e1 ext5d ! func;ns ;c & ;d f
@m ;,f to ,f .+ ,h .+ ,k @l 0lett+ @m c(x) .k c(x@r.w) @l & @m d(x) .k
d(x@r.w) @l = ea* ;x 9 @m ,h .+ ,k_4 @l $p ,= ea* ;x 9 @m ,h .+ ,k_1 let
,w(x) .k ,u;c(x)"(x) -.((.s, .t) @e ,i;c(x)^@#"\ s;i"(.s@ri)@rd(x) /.k
s;i"(.t@ri)@rd(x) @l = "s @m i "k: c(x).)_4 @l ,6v]ify t ea* @m ,w(x) @l
is op5 7& h;e clop571 3sid] @m ,w(h) @l ": @m h @e ,h_4 @l ,cle>ly @m
,w(h) .% ,i @l is op54 ,= ea* @m h' @l 9 @m ;,h_1 h' @e ,w(h) iff h'@rc(h)
.k h@rc(h)_4 @l ,moreov]1 if @m h' @e ,w(h) .% ,h_1 @l !n @m ,u;d(h)"(h')
_"k ,w(h)_4 @l ,al notice t = ;h 9 @m ;,h_1 h@rc(h) @l det]m9es @m c(h),
d(h) @l & @m ,w(h); @l ! same holds = ;k 9 ;,k4 @l ,n[ let @m @;,w^0 .k
.(,w(h)\ h @e ,h.), @;,w^1 .k .(,w(k)\ k @e ,k.), @l & @m @;,w^2 .k
.(.(x.)\ x @e ,i- .+ (@;,w^0 .+ @;,w^1").)_4 @l ,let @;,w 2 ! op5 cov] @m
@;,w^0 .+ @;,w^1 .+ @;,w^2_1 @l : ref9es @m @;,v_4 @l $p ,6see t @m @;,w
@l is 9 fact loc,y c.ta#1 we f/ 9ve/igate ! am.t ( 9t]sec;n 2t xs memb]s4
,bo? @m @;,w^0 .+ @;,w^2 @l & @m @;,w^1 .+ @;,w^2 @l >e pairwise 4jo9t
collec;ns4 ,n[ suppose @m ,w(h) meets ,w(k) @l ": @m h @e ,h @l & @m k @e
,k_4 c(h) .k c(k)_4 @l ,6v]ify ?1 suppose t @m c(h) /.k c(k)_4 @l ,)\t
boss ( g5]al;y assume @m c(h) "k c(k)_1 @l & @m let n .k c(h)_4 @l ,*oose
@m (.s, @m .t) @l 9 @m ,w(h) .% ,w(k)_4 @l ,!n @m .s@rn @e ,a;n @l b @m
.t@rn @e ,p;n"-,a;n_4 @l ,s @m s;n"(.s@rn)@rm /.k s;n"(.t@rn)@rm @l ": m
@m .k max (d;n"(.s@rn), d;n"(.t@rn))_4 ,if m .k d;n"(.s@rn)_1 @l !n @m m
"k: d(h), @l & s @m (.s, .t) /@e ,w(
 
@l $p ,we n[ v]ify t @m @;,w @l is loc,y c.ta#4 ,giv5 any @m ;x @l 9 @m
;,i_1 .(x.) @l meets at mo/ two memb]s ( @m @;,w_4 @l ,= ea* @m ;x @l 9 @m
,h .+ ,k_1 let ,z(x) @l 2 ! op5 set @m ,w(x) .% ,u;c(x)+1"(x)_4 @l ,9
*eck+ t ea* @m ,z(x) @l avoids all b c.tably _m memb]s ( @m @;,w_1 @l
3sid] @m ,z(h) @l ": @m h @e ,h @l & @m c(h) .k n_4 ,z(h) @l meets j "o
memb] ( @m @;,w^0 .+ @;,w^1 @l -- "nly1 ,w(h)_4 @l ,2c @m ,z(h) @l ref9es
@m ,w(h)_1 @l e memb] ( @m @;,w^1 @l : @m ,z(h) @l meets lies 9 @m
@;,w;n^1 @l -- ": @m @;,w;n^1 .k .(,w(k)\ k @e ,k @l & @m c(k) .k n.)--_
@l & is "!=e 3ta9$ 9 a memb] ( @m @;,g;n^1_4 @l ,b s9ce @m ,z(h) @l al
ref9es @m ,u;n+1"(h)_1 @l x meets only c.tably _m memb]s ( @m @;,g;n^1_1
@l ea* @l ( : 3ta9s at mo/ "o memb] ( @m @;,w;n^1_4 @l ,s @m ,z(h) @l
meets j c.tably _m memb]s ( @m @;,w^1 @l & h;e ( @m @;,w_4 @l ,? -pletes !
pro( t @m @;,w @l is loc,y c.ta# & t ;,x is "!=e p>a-,l9del(4 $p 7d73
,6v]ify t @m ;,x @l is n normal1 let @m ,v1 @l & @m ,v2 @l 2 >bitr>y op5
sets : 3ta9 ! 4jo9t clos$ sets ;,h & ;,k1 respectively4 ,we w see t @m ,v1
@l & @m ,v2 @l 9t]sect & ?us t ;,h & ;,k _c 2 sep>at$ 04jo9t op5 sets4 ,)
@m @;,v @l ! op5 cov] @m .(,v1, ,v2, ,i.) @l ( @m ;,x_1 let c(f) @l = ea*
;f 9 ;,f & @m ,a;n @l = ea* @m n .1: #1 @l 2 z 9 ! pro( ( 7c74 ,let @m ,a
.k " .+%n_ .1:_ #1] ,a;n_4 @l ,s9ce e ;f 9 ;,f has a re/ric;n 9 ;,a1 @l
0,lemma #c.b.aa1 *oose @m n .1: #1 @l s t @m ,a;n @l has an ;n-full
subset1 & let ;,b 2 s* a subset4 ,def9e ! 8mat*+0 func;n @m ;,m_3 ,b $o
(^n"2)^n @l 0lett+ @m ,m(.r) @l 2 ! @m ;n-tuple (s1(.r@r1)@rn, ''',
s;n"(.r)@rn) @l = ea* @m .r @l 9 ;,b4 ,s9ce "! >e only f9itely _m
possibilities = @m ,m(.r)_1 @l 0,lemma #c.b.aj1 let ;,c 2 an ;n-full
subset ( ;,b on : ;,m is 3/ant4 ,n[1 0,lemma #c.b.i1 f9d two 9t]lac+
memb]s @m .s @l & @m .t @l ( ;,c ) @m .s(0) /.k .t(0)_4 @l ,!n ! po9t @m
(.s, .t) @l lies 9 @m ,v1 .% ,v2_4 @l ,"!=e ;,x is n normal4 $p 7e73 ,we
n[ v]ify t ;,x is metacompact4 ,giv5 an op5 cov] @m @;,v @l ( ;,x1 ! loc,y
c.ta# op5 ref9e;t @m @;,w @l 3/ruct$ 9 ! pro( ( 7c7 is al po9t-f9ite4
,h["e1 :ile ! @m .w1-,cantor @l tree sequ;es >e nec 9 prov+ t ;,x is
p>a-,l9del(1 !y >e n important "h4 ,we c j z well f9d a po9t-f9ite op5
ref9e;t @m @;,u @l = @m @;,v @l m simply4 ,def9e ! func;n @m ;c on ,f .+
,h .+ ,k @l z 9 ! pro( ( 7c7_4 ,!n let @m @;,u^0 .k .(,u;c(h)"(h)\ h @e
,h.), @;,u^1 .k .(,u;c(k)"(k)\ k @e ,k.), @l & @m @;,u^2 .k .(.(x.)\ x @e
,i- .+ (@;,u^0 .+ @;,u^1").)_4 ,let @;,u @l 2 ! op5 cov] @m @;,u^0 .+
@;,u^1 .+ @;,u^2_1 @l ref9+ @m @;,v_4 @l ,bo? @m @;,u^0 .+ @;,u^2 @l & @m
@;,u^1 .+ @;,u^2 @l >e pairwise 4jo9t collec;ns4 ,s9ce ea* po9t 9 @m ,h .+
,k @l
 
@l $p 7f73 ,f9,y1 6v]ify t ;,x is c.tably p>acompact1 let @m @;,v @l 2 a
c.tably 9f9ite op5 cov] ( ;,x4 ,9dex @m @;,v @l z @m .(,v;i"\ i .1: #1.)_4
@l ,= ea* ;f 9 ;,f1 let @m c(f) @l 2 ! smalle/ 9teg] ;n s* t bo? @m
,u;n"(f_<0) @l & @m ,u;n"(f_<1) @l >e 3ta9$ 9 sets @m ,v;i @l @l ) @m i
"k: n_4 @l ,) @m c(f) @l s def9$ = ea* ;f 9 ;,f1 g on 6def9e @m ,a;n @l &
@m d;n @l = ea* @m n .1: #1; d(f) @l = ea* ;f 9 ;,f; & @m c(x), d(x), @l &
@m ,w(x) @l = ea* ;x 9 @m ,h .+ ,k @l acly z 9 ! pro( ( 7c74 ,al let @m
@;,w^0, @;,w^1, @l & @m @;,w^2 @l 2 z 9 ! pro( ( 7c74 ,z 2f1 ea* @m ,w(x)
@l is op51 @l & @m ,w(x) @l _c meet @m ,w(x')_1 @l ": ;x & @m x' @l >e 9
@m ,h .+ ,k_1 @l unless @m c( )_4 @l $p ,= ea* @m n .1: #1_1 let ,w;n^@#
.k .+ .(,w(x)\ x @e ,h .+ ,k @l & @m c(x) .k n.) .+ .(x@e,i\ .(x.) @e
@;,w^2 @l & @m x @e ,v;n"-" .+%i_ "k_ n] ,v;i".)_4 @l ,!n ! op5 cov] @m
@;,w^@# .k .(,w;n^@#".%,v;i"\ n .1: #1 @l & @m i "k: n.) @l is a loc,y
f9ite ref9e;t = @m @;,v_4 @l ,9 fact1 @m @;,w^@# @l is />-f9ite2 t is1 ea*
memb] ( @m @;,w^@# @l avoids all b f9itely _m memb]s ( @m @;,w^@#_4 $4 @l
$p ,9 ? example1 ! @m .w1-,cantor @l tree sequ;es >e ess5tial 9 gett+ ;,x
6be p>a-,l9del( & al c.tably p>acompact4 ,= e @m i .1: #1_1 @l ! set @m
,p;i @l is id5tifi$ )! top level @m ,t' @l (! @m .w1-,cantor @l tree ;,t
0! func;n @m s;i_4 @l $p ,let ;h 9 ;,h & @m n .1: #1 @l 2 giv54 ,any 8;nth
level0 op5 nei<borhood ( @m ;h--_ @l t is1 "o ^: 9t]sec;n ) @m ,h .+ ,k is
@(h@rn_3 ,h@) @l & ^: 9t]sec;n ) ;,i is det]m9$ 0xs 9t]sec;n ) @m ,i;n"--_
@l c 2 ?9n$ d[n 0an associ,n )! op5 nei<borhoods ( @m s;i"(h@ri) @l 9 ;,t
= ea* @m i "k: n_4 @l ,m precisely1 ! ;nth level op5 set @m ,u;n"(h) @l is
associat$ )! op5 9t]val @m .(t@e,t\ s;i"(h@ri)@rn "k: t "k: s;i"(h@ri).)
@l 9 ;,t = ea* @m i "k: n_4 @l ,b if @m m .1 n_1 @l a small] ;nth level
op5 nei<borhood ( ;h1 associat$ )! op5 9t]val @m .(t@e,t\ s;i"(h@ri)@rm
"k: t "k: s;i"(h@ri).) @l 9 ;,t = ea* @m i "k: n_1 is ,u;n"(h)-.((.s, .t)
@e ,i;n^@#"\ s;i"(.s@ri)@rm /.k s;i"(.t@ri)@rm @l = "s @m i "k: n.)_4 @l
,simil>ly1 let ;k 9 ;,k & @m n .1: #1 @l 2 giv54 ,any ;nth level op5
nei<borhood ( ;k--t is1 "o ^: 9t]sec;n ) @m ,h .+ ,k is @(k@rn_3 ,k@) @l &
^: 9t]sec;n ) ;,i is det]m9$ 0xs 9t]sec;n ) @m ,i;n--c @l 2 ?9n$ d[n 0an
associ,n )! op5 nei<borhoods ( @m s;i"(k@ri) @l 9 ;,t = ea* @m i "k: n_4
@l $p ,2c ! @m .w1-,cantor @l tree ;,t is normal1 ? ?9n+ d[n provides 5
sep>,n 6make ;,x p>a-,l9del(4 ,= x gives a h&le = 3troll+ ! 8levels0 (
9t]sect+ op5 sets4 ,at ! same "t1 ;,t is n collec;nwise ,hausdorff s9ce no
unc.ta# subset (! 4crete set @m ,t' @l c 2 sep>at$ 04jo9t op5 sets4 ,"!=e1
c]ta9ly1 ! f9ite sequ;es @m s;i"(.r@ri)@rn ) i "k: n @l _c 4t+ui%
unc.tably _m memb]s @m .r @l ( any giv5 @m ,p;n @l f ea* o!r2 moreov]1
unc.tably _m ( !m w agree on all ! sequ;es @m s;i"(.r@ri
 
@l $f $$c ,sec;n #d.b4 ,a ,normal1 ,p>a-,l9del(1 ,collec;nwise ,nonnormal
$l $$c ,moore ,space ,3/ruct$ ,"u @m ,,ma(.w1)_4 @l @l $p ,n[1 0emb$d+ !
te*niques us$ 9 ! previ\s sec;n 9 a sli<tly di6]5t picture1 we 3/ruct
ano!r example4 ,9 ? topological space "! is only "o copy ( ;,f1 &! pairs (
9t]lac+ "pial func;ns1 : provide 9t]sect+ 9t]sec;ns 2t op5 sets1 >e
unord]$ pairs r ?an ord]$ pairs4 $p $$ub #d.b.a3 ,example $$uf @m
(,,ma(.w1))_4 @l ,giv5 @m n .1: #1_1 let ,j;n .k .(.(.s, .t.) _"k ,p;n"\
(i) .s(0) /.k .t(0), (ii) .s @l & @m .t @l 9t]lace1 & @m (iii)
s;i"(.s@ri)@rn .k s;i"(.t@ri)@rn @l = @m #1 "k: i "k: n.); let ,j;n^@# .k
" .+%m_ .1:_ n] ,j;m_4 @l ,n[ let @m ,j .k ,j;1^@# @l & @m ,y .k ,f .+
,j_4 @l $p ,let ;,y 2 topologiz$ z foll[s4 ,giv5 ;y 9 @m ;,j_1 .(y.) @l is
op52 t is1 ! po9ts ( ;,j >e isolat$4 ,giv5 @m n .1: #1 @l & ;f 9 @m ;,f_1
@l ! set @m ,u;n"(f) .k @(f@rn_3 ,f@) .+ .(.(.s, .t.) @e ,j;n^@#"\ .s@rn
.k f@rn or .t@rn .k f@rn.) @l is op54 ,^! op5 sets make up ! base @m @;,b
@l =! topology on ;,y4 $p ,! topological space ;,y has ! foll[+ prop]ties3
$l 7a7 ;,y is ,t1 & z]o-dim5.nal & al normal4 $l 7b7 ;,y is a ,moore space
)a @m .s-_ @l loc,y c.ta# base b ) no @m .s-_ @l 4jo9t base4 $l 7c7 ;,y is
p>a-,l9del(4 $l 7d7 ;,y is n collec;nwise normal4 $l 7e7 ;,y is
metacompact4 $l 7f7 ;,y is c.tably p>acompact4 $p ,9 ! 4cus.n ( ? example1
! topological space ;,x ref]r$ to is t ( ,example #d.a.e4 $p 7a73 ,prov+ t
;,y is @m ,t1 @l & t ! base @m @;,b @l = ;,y is clop5 is v m* l prov+ !
analog\s result = ;,x4 ,= example1 3sid] ! basic op5 set @m ,u .k ,u;n"(f)
@l ": @m n .1: #1 @l & @m f @e ,f_2 @l we v]ify t ;,u is clos$4 ,if @m y
@e ,j-,u_1 @l !n @m .(y.) @l sep>ates ;y f ;,u4 ,9 sep>at+ @m f' @l 9 @m
,f-,u @l f ;,u1 "! >e two possibilities4 ,if @m f'(0) .k f(0)_1 @l !n @m
,u;m"(f') .% ,u is empty @l ": ;m is l>ge 5 s t @m f'@rm /.k f@rm
(e_4g_4_1 m .k n)_4 @l ,o!rwise1 s9ce @m f'@r1 /.k f@r1_1 @l f9d ;m l>ge 5
s t @m s1(f'@r1)@rm /.k s1(f@r1)@rm; @l !n @m ,u;m"(f') .% ,u @l is empty4
$p ,6v]ify t ;,y is normal1 let ;,a & ;,b 2 4jo9t clos$ subsets ( ;,y4
,)\t loss ( g5]al;y we assume t bo? ;,a & ;,b >e 3ta9$ 9 ;,f4 ,=1 if n1
let @m ,a' .k ,a .% ,f @l & @m ,b' .k ,b .% ,f_4 ,if ,u' @l & @m ,v' @l >e
4jo9t op5 sets 3ta9+ @m ,a' @l & @m ,b'_1 @l respectively1 !n ! op5 sets
@m ,u .k ,u'-,b .+ (,a .% ,j) @l & @m ,v .k ,v'-,a .+ (,b .% ,j) @l >e
4jo9t & 3ta9 ;,a & ;,b1 respectively4
 
@l $p ,n[1 = ea* ;f 9 @m ;,a1 let @m c(f) @l 2 ! smalle/ 9teg] ;n s* t @m
,u;n"(f) .% ,b @l is empty4 ,simil>ly1 = ea* @l 9 ;,b1 @m let c(f) @l 2 !
smalle/ 9teg] ;n s* t @m ,u;n"(f) .% ,a @l is empty4 ,let @m n .1: #1 @l 2
giv54 ,let @m ,a;n .k .(f@rn\ f @e ,a @l & @m c(f) .k n.) @l & @m ,b;n .k
.(f@rn\ f @e ,b @l & @m c(f) .k n.)_4 @l ,let @m d;n_3 ,p;n $o .w @l 2 a
func;n sep>at+ @m ,a;n @l f @m ,p;n"-,a;n @l & @m ,b;n @l f @m ,p;n"-,b;n;
@l = example1 let @m d;n @l 2 ! maximum ( two func;ns @m d;,a;;n @l & @m
d;,b;;n @l gu>ante$ 6exi/ z 4cuss$ 9 ,def9i;n #d.a.b4 ,f9,y1 giv5 ;f 9 @m
,a .+ ,b_1 let d(f) @l 2 ! l>g] ( @m c(f) @l & @m " max%i_ "k:_ c(f)]
d;i"(f@ri)_4 ,let ,u .k .+ .(,u;d(f)"(f)\ f @e ,a) @l & @m ,v .k .+
.(,u;d(f)"(f)\ f @e ,b.)_4 @l ,!n ;,u & ;,v >e op5 sets : 3ta9 ;,a & ;,b1
respectively4 $p ,c]ta9ly no po9t ( ;,f c 2 9 bo? ;,u & ;,v s9ce @m d(f)
.1: c(f) @l = ea* ;f 9 @m ,a .+ ,b_4 @l ,6see t ;,u & ;,v >e 4jo9t1
suppose t @m .(.s, .t.) @e ,u;d(f)"(f) .% ,u;d(f')"(f') @l = "s ;f 9 ;,a &
@m f' @l 9 ;,b4 ,we assume )\t loss ( g5]al;y t @m c(f) "k: c(f'),
.s@rc(f) .k f@rc(f), @l & @m .t@rc(f') .k f'@rc(f')_4 ,let n .k c(f)_4 @l
,!n @m .s@rn @e ,a;n b .t@rn @e ,p;n"-,a;n_4 @l ,?us @m s;n"(.s@rn)@rm /.k
s;n"(.t@rn)@rm @l ": @m m .k max (d;n"(.s@rn), d;n"(.t@rn))_4 ,if m .k
d;n"(.s@rn)_1 @l !n @m m "k: d(f), @l & s @m .(.s, .t.) /@e ,u;d(f)"(f)_4
@l ,o!rwise1 @m m .k d;n"(.t@rn), m "k: d(f'), @l & s @m .(.s, .t.) /@e
,u;d(f')"(f')_4 @l ,? is ( c\rse impossi#1 & "!=e ;,u & ;,v >e 4jo9t4 ,s
;,y is @m ,t4_4 @l $p ,prov+ t ;,y is a ,moore space )a @m .s-_ @l loc,y
c.ta# base is v simil> 6prov+ ! same result = ;,x4 ,giv5 @m n .1: #1_1 let
@;,g;n^1 .k .(,u;n"(f)\ f @e ,f.), @;,g;n^2 .k .(.(y.)\ y @e ,j- .+
@;,g;n^1".), @l & @m @;,g;n .k @;,g;n^1 .+ @;,g;n^2_4 @l ,s9ce ! collec;n
@m .(@;,g;n"\ n .1: #1.) @l ( op5 cov]s ( ;,y is a develop;t = ;,y1 ;,y is
a ,moore space4 ,al1 ea* @m @;,g;n @l is loc,y c.ta# z wit;s$ by @m
@;,g;n+1; @l ! >gu;t v]ify+ ? mat*es ! "o us$ 6v]ify ! analog\s result =
;,x4 ,?us ! base @m @;,b @l is .s-_ @l loc,y c.ta# s9ce @m @;,b .k " .+%n_
.1:_ #1] @;,g;n_4 @l ,unlike ;,x1 h["e1 ;,y does n h a @m .s-_ @l 4jo9t
base2 ? is %[n 0! me?od us$ 6prove t ;,y is n collec;nwise normal4 $p 7c73
,! pro( t ;,y is p>a-,l9del( foll[s ! l9es (! pro( t ;,x is p>a-,l9del(4
,let @m @;,v @l 2 an op5 cov] ( ;,y4 ,= ea* ;f 9 ;,f1 let @m c(f) @l 2 !
smalle/ 9teg] ;n s* t @m ,u;n"(f) @l is 3ta9$ 9 a memb] ( @m @;,v_4 @l ,z
2f1 = ea* @m n .1: #1_1 let ,a;n .k .(f@rn\ f @e ,f @l & @m c(f) .k n.);
let d;n_3 ,p;n $o .w @l 2 a func;n sep
 
@l $p ,= ea* ;f 9 ;,f1 let @m ,w(f) .k ,u;c(f)"(f)-.(.(.s, .t.) @e
,j;c(f)^@#"\ s;i"(.s@ri)@rd(f) /.k s;i"(.t@ri)@rd(f) @l = "s @m i "k:
c(f).)_4 @l ,n[ let @m @;,w^1 .k .(,w(f)\ f @e ,f.), @;,w^2 .k .(.(y.)\ y
@e ,j- .+ @;,w^1".), @l & @m @;,w .k @;,w^1 .+ @;,w^2_4 @l ,foll[+ ! pro(
= ;,x1 we see t ea* @m ,w(f)_1 @l : is det]m9$ by @m f@rc(f)_1 @m is op5 &
t = any ;f & @m f' @l 9 ;,f1 @m ,w(f) @l _c meet @m ,w(f') unless c(f) .k
c(f')_4 @l ,we see z well t ! op5 cov] @m @;,w_1 @l : ref9es @m @;,v_1 @l
is loc,y c.ta#2 = ea* ;f 9 ;,f1 ! op5 set @m ,z(f) .k ,w(f) .%
,u;c(f)+1"(f) @l wit;ses ! local c.tabil;y ( @m @;,w @l at ;f4 $p 7d73 ,!
pro( t ;,y is n collec;nwise normal resem#s ! pro( t ;,x is n normal4 ,=
ea* @m .a "k .w1_1 let ,f;.a .k .(f@e,f\ f(0) .k .a.)_4 @l ,we *eck f/ t
ea* @m ,f;.a @l is clos$ & t ! collec;n @m @;,f .k .(,f;.a"\ .a "k .w1.)
@l is @l 4crete4 ,giv5 any ;y 9 ;,j1 @m .(y.) @l meets no memb] ( @m
@;,f_4 @l ,giv5 any ;f 9 ;,f1 let @m .a .k f(0); @l !n @m f @e ,f;.a_1 @l
: is ! only memb] ( @m @;,f @l met by @m ,u1(f)_4 @l $p ,6v]ify t !
collec;n @m @;,f @l _c 2 sep>at$ 04jo9t op5 sets1 let @m .(,v;.a"\ .a "k
.w1.) @l 2 an >bitr>y collec;n ( op5 sets ) @m ,v;.a".%,f .k ,f;.a @l = e
@m .a "k .w1_4 @l ,we w see t ? collec;n is n pairwise 4jo9t4 ,) @m @;,v
@l ! op5 cov] @m .(,v;.a"\ .a "k .w1.) .+ .(,j.) @l ( @m ;,y_1 let c(f) @l
= ea* ;f 9 ;,f & @m ,a;n @l = ea* @m n .1: #1 @l 2 z 9 ! pro( ( 7c74 ,n[
let @m n .1: #1, ,b _"k ,a;n, ,m_3 ,b $o (^n"2)^n, @l & ;,c 2 z 9 ! pro( t
;,x is n normal4 ,0,lemma #c.b.i1 f9d two 9t]lac+ memb]s @m .s @l & @m .t
@l ( ;,c ) @m .s(0) /.k .t(0)_4 @l ,!n ! po9t @m .(.s, .t.) lies @l 9 @m
,v;.s(0) .% ,v;.t(0)_4 @l ,"!=e ;,y is n collec;nwise normal4 $p 7e73 ,!
pro( t ;,y is metacompact is j l ! analog\s pro( = ;,x4 ,giv5 an op5 cov]
@m @;,v @l ( ;,y1 ! loc,y c.ta# op5 ref9e;t @m @;,w @l 3/ruct$ 9 prov+ 7c7
is al po9t-f9ite4 ,m simply1 h["e1 )! func;n ;c on ;,f def9$ z 9 ! pro( (
7c71 let @m @;,u^1 .k .(,u;c(f)"(f)\ f @e ,f.), @;,u^2 .k .(.(y.)\ y @e
,j- .+ @;,u^1".), @l & @m @;,u .k @;,u^1 .+ @;,u^2_4 @l ,!n @m @;,u @l &
@m d;n = ea* n .1: #1; d(f) @l & @m ,w(f) = ea* ;f 9 ;,f; @l & @m @;,1^2
acly z 9 ! pro( ( (c)_4 ,once ag1 ea* ,w(f) is op51 @l & @m c(f) .k c(f')
if ,w(f) meets ,w(f') = any ;f @l & @m f' 9 ;,f_4
 
@l $p 7f73 ,j z we did = ;,x1 we n[ modify ! pro( t ;,y is p>a-,l9del(
6prove t ;,y is c.tably p>acompact4 ,giv5 a c.ta# op5 cov] @m @;,v .k
.(,v;i"\ i .1: #1.) @l ( ;,y1 = ea* ;f 9 ;,f1 let @m c(f) @l 2 ! smalle/
9teg] ;n s* t @m ,u;n"(f) @l is 3ta9$ 9 a set @m ,v;i @l ) @m i "k: n_4 @l
,def9e @m ,a;n @l & @m d;n @l = ea* @m n .1: #1; d(f) @l & @m ,w(f) @l =
ea* ;f 9 ;,f2 & @m @;,w1^2 @l acly z 9 ! pro( ( 7c74 ,once ag1 ea* @m
,w(f) @l is op51 & @m c(f) .k c(f') if ,w(f) meets ,w(f') @l = any ;f & @m
f' @l 9 ;,f4 $p ,= ea* @m n .1: #1_1 let ,w;n^@# .k .+ .(,w(f)\ f @e ,f @l
& @m c(f) .k n.) .+ .(y@e,j\ .(y.) @e @;,w^2 @l & @m y @e ,v;n -" .+%i_
"k_ n] ,v;i".)_4 @l ,! op5 cov] @m @;,w^@# .k .(,w;n^@# .% ,v;i"\ n .1: #1
@l & @m i "k: n.) @l is a loc,y f9ite 79 fact />-f9ite7 ref9e;t = @m
@;,v_4 $4